Raisonnement par récurrence : rédiger une démonstration pas à pas
Le raisonnement par récurrence permet de démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel n, ou à partir d'un certain rang. C'est l'outil incontournable du chapitre sur les suites en Terminale : formule explicite, comparaison de deux suites, encadrement... La plupart des élèves ne perdent pas de points sur le calcul, mais sur la rédaction, car chaque étape suit une structure précise. Voici la méthode complète, avec un exercice corrigé et vérifié.
Les trois étapes du raisonnement par récurrence
Pour démontrer qu'une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0, on procède toujours en trois étapes :
- Initialisation : on vérifie que la propriété P(n0) est vraie au premier rang ;
- Hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un rang n ≥ n0 quelconque (l'hypothèse de récurrence), et on démontre qu'alors P(n+1) est vraie ;
- Conclusion : on invoque le principe de récurrence pour affirmer que P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0.
Ces trois étapes doivent toutes apparaître dans la rédaction : une démonstration à laquelle il manque l'initialisation ou la conclusion n'est pas complète, même si le calcul de l'hérédité est juste.
Bien rédiger l'étape d'hérédité
C'est l'étape la plus technique. Elle commence toujours par une phrase du type : « Soit n ≥ n0 un entier tel que P(n) soit vraie. Montrons que P(n+1) est vraie. » Ensuite, le calcul doit partir de l'expression au rang n+1, et utiliser explicitement l'hypothèse de récurrence pour la transformer et retrouver la forme attendue par P(n+1). Une hérédité qui n'utilise jamais l'hypothèse posée au rang n n'a rien démontré : elle a seulement recopié un calcul valable pour n'importe quelle suite.
Confondre « vérifier » et « démontrer ». Calculer u0, u1 et u2 et constater que la formule fonctionne à chaque fois ne prouve rien pour les rangs suivants : ce n'est qu'une vérification sur quelques cas. Seule la succession complète des trois étapes — initialisation, hérédité, conclusion — constitue une démonstration valable pour tout entier n.
Exercice corrigé
Énoncé. On considère la suite (un) définie par u0 = 1 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 2un + 1.
- Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un = 2n+1 − 1.
- En déduire que la suite (un) est strictement croissante.
Au rang n = 0, la formule donne 20+1 − 1 = 2 − 1 = 1. Or u0 = 1 par définition. La propriété est donc vraie au rang 0.
Soit n ≥ 0 un entier tel que un = 2n+1 − 1 (hypothèse de récurrence). Montrons qu'alors un+1 = 2n+2 − 1.
Par définition de la suite : un+1 = 2un + 1.
En utilisant l'hypothèse de récurrence : un+1 = 2(2n+1 − 1) + 1 = 2n+2 − 2 + 1 = 2n+2 − 1.
C'est exactement la formule attendue au rang n+1 : la propriété est donc héréditaire.
La propriété est vraie au rang 0 (initialisation) et héréditaire (étape 2). D'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, un = 2n+1 − 1.
Vérification : u1 = 2×1+1 = 3, et la formule donne 22 − 1 = 3 ✓. u2 = 2×3+1 = 7, et la formule donne 23 − 1 = 7 ✓. Le résultat est confirmé.
Pour tout entier n : un+1 − un = (2n+2 − 1) − (2n+1 − 1) = 2n+2 − 2n+1 = 2n+1(2 − 1) = 2n+1.
Or 2n+1 > 0 pour tout entier n, donc un+1 > un pour tout n : la suite (un) est strictement croissante.
Ce qu'il faut retenir
Une démonstration par récurrence suit toujours les mêmes trois étapes : initialisation (vérifier le premier rang), hérédité (supposer P(n) vraie et en déduire P(n+1) en utilisant cette hypothèse dans le calcul), puis conclusion (invoquer le principe de récurrence). Une fois la formule explicite démontrée, elle devient un outil puissant pour étudier d'autres propriétés de la suite, comme son sens de variation.
Questions fréquentes
Pourquoi l'étape d'initialisation est-elle indispensable ?
Sans elle, l'hérédité seule ne prouve rien : elle montre que la propriété se transmet d'un rang à l'autre, mais pas qu'elle est vraie au départ. Exemple : la propriété « n = n+1 » se transmet parfaitement d'un rang au suivant, mais elle n'est jamais vraie, faute d'un rang initial où elle le serait.
Que signifie exactement l'hypothèse de récurrence ?
On suppose que la propriété est vraie pour un rang n fixé quelconque (pas pour tous les rangs à la fois), et on doit uniquement démontrer qu'elle reste vraie au rang suivant n+1, en utilisant cette hypothèse dans le calcul.
Peut-on utiliser la récurrence pour démontrer une inégalité ?
Oui, la méthode est identique : initialisation, puis à l'étape d'hérédité on part de l'inégalité supposée vraie au rang n et on la transforme, souvent en ajoutant ou en multipliant par une quantité positive, pour obtenir l'inégalité au rang n+1.
Quelle est l'erreur la plus fréquente en rédaction d'une récurrence ?
Ne pas utiliser explicitement l'hypothèse de récurrence dans le calcul de l'hérédité. Si le calcul au rang n+1 ne fait jamais intervenir ce qui a été supposé vrai au rang n, la démonstration ne prouve rien.
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