Limite d'une suite géométrique : convergence et divergence
Une suite géométrique (un) de raison q vérifie un = u0 × qn. Son comportement à l'infini dépend uniquement de la valeur de q : elle peut converger vers 0, vers une constante, tendre vers l'infini, ou même n'avoir aucune limite. C'est une question classique de bac, où l'erreur la plus fréquente est d'oublier un cas ou de confondre « diverger » et « tendre vers l'infini ». Voici la méthode complète, avec un exercice corrigé et vérifié.
Le rôle central de la raison q
Tout repose sur la limite de la suite (qn), qui dépend de la position de q par rapport à −1 et à 1. Une fois cette limite connue, on en déduit celle de un = u0 × qn en multipliant par u0 (en supposant u0 ≠ 0, sinon la suite est nulle et sa limite vaut 0 dans tous les cas).
| Raison q | Limite de qn | Limite de un = u0qn |
|---|---|---|
| q > 1 | +∞ | +∞ si u0 > 0 ; −∞ si u0 < 0 |
| q = 1 | 1 | u0 (suite constante) |
| −1 < q < 1 | 0 | 0 |
| q = −1 | n'existe pas | pas de limite (oscille entre u0 et −u0) |
| q < −1 | n'existe pas | pas de limite (oscille, amplitude infinie) |
Pourquoi |q| < 1 donne toujours une limite nulle
Le signe de q ne change rien à la convergence vers 0 : seule sa valeur absolue compte. Si |q| < 1, alors |qn| = |q|n devient de plus en plus petit quand n augmente, quel que soit le signe de q. Une raison négative comme q = −0,8 donne donc une suite qui tend vers 0, en changeant de signe à chaque terme (elle « oscille en se resserrant » autour de 0).
Croire qu'une suite géométrique « diverge » signifie forcément qu'elle tend vers +∞ ou −∞. C'est faux dès que q ≤ −1 : la suite diverge (elle n'a pas de limite finie), mais elle ne tend pas vers l'infini pour autant, car elle change de signe indéfiniment. Il faut alors écrire explicitement « la suite n'admet pas de limite », sans donner de valeur ni de signe d'infini.
Exercice corrigé
Énoncé. On considère les trois suites géométriques suivantes, définies pour tout entier naturel n :
- un = 4 × 0,5n
- vn = 3 × (−0,8)n
- wn = 2 × 1,5n
- Étudier la limite de chacune des trois suites.
- Calculer u10 et vérifier que le résultat est cohérent avec la limite trouvée.
- Que peut-on dire de la suite tn = 3 × (−1,2)n ?
La raison est q = 0,5, donc |q| = 0,5 < 1 : lim qn = 0. Comme u0 = 4, on a lim un = 0.
La raison est q = −0,8, donc |q| = 0,8 < 1 : lim qn = 0, malgré le signe négatif de q. Donc lim vn = 0 également (les termes changent de signe mais leur valeur absolue tend vers 0).
La raison est q = 1,5 > 1, donc lim qn = +∞. Comme u0 = 2 > 0, on a lim wn = +∞.
u10 = 4 × 0,510 = 4 × 1/1024 = 4/1024 = 0,00390625. Cette valeur est très proche de 0, ce qui confirme que (un) converge bien vers 0.
La raison est q = −1,2, donc q < −1. La suite (tn) diverge, mais elle n'a pas de limite : |tn| = 3 × 1,2n tend vers +∞, mais le signe de tn alterne (t1 = −3,6 ; t2 = 4,32 ; t3 = −5,184…). La suite oscille avec une amplitude qui augmente indéfiniment, sans jamais se stabiliser vers +∞, −∞ ou une valeur finie.
Ce qu'il faut retenir
Pour étudier la limite d'une suite géométrique, commence toujours par situer la raison q par rapport à −1 et 1. Si |q| < 1, la limite est 0 quel que soit le signe de q. Si q > 1, la limite est infinie et son signe dépend de u0. Si q ≤ −1, la suite n'a pas de limite : ne réponds jamais « +∞ » ou « −∞ » dans ce cas, mais « la suite diverge sans admettre de limite ».
Questions fréquentes
Une suite géométrique de raison négative peut-elle converger ?
Oui, dès que |q| < 1. Le signe de q n'a aucune influence sur la convergence vers 0 : seule sa valeur absolue compte. Par exemple q = −0,8 donne une suite qui tend vers 0, en oscillant de signe.
Que se passe-t-il si q = 1 ou q = −1 ?
Si q = 1, la suite est constante et sa limite est u0. Si q = −1, la suite oscille indéfiniment entre u0 et −u0 sans se rapprocher d'aucune valeur : elle n'a pas de limite.
Comment savoir si la suite tend vers +∞ ou −∞ ?
Quand q > 1, la limite est infinie et son signe dépend de celui de u0 : +∞ si u0 > 0, −∞ si u0 < 0. Il faut donc toujours regarder le signe du premier terme, pas seulement celui de la raison.
Diverger signifie-t-il toujours tendre vers l'infini ?
Non. Quand q ≤ −1 (avec u0 ≠ 0), la suite diverge mais n'a pas de limite : elle oscille de signe, avec une amplitude qui reste constante (q = −1) ou augmente indéfiniment (q < −1).
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