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Dérivée d'une fonction exponentielle : étudier les variations pas à pas

Q: Comment dériver un produit avec une exponentielle ?

On applique la formule (uv)' = u'v + uv'. La dérivée de e^x est e^x, et la dérivée de e^{-x} est -e^{-x} : ne pas oublier le signe moins qui vient de la dérivation de -x.

Q: Pourquoi le signe de f'(x) ne dépend-il que d'un seul facteur ?

Parce qu'une exponentielle est strictement positive pour tout x réel. Si f'(x) s'écrit comme un produit contenant e^x ou e^{-x}, le signe de f'(x) est donc entièrement déterminé par le signe de l'autre facteur.

Q: Comment lire un extremum sur un tableau de variations ?

Un extremum local apparaît là où f'(x) change de signe. Si f' passe de + à -, c'est un maximum local ; si elle passe de - à +, c'est un minimum local. La valeur de l'extremum est f évaluée en ce point.

Dès qu'une exponentielle apparaît dans un produit, beaucoup d'élèves de Terminale perdent leurs repères sur la dérivation, le signe de f'(x) ou les limites. Voici la méthode complète : dériver un produit avec une exponentielle, étudier son signe, calculer les limites par croissances comparées, puis dresser le tableau de variations, avec un exercice corrigé et vérifié.

Dériver un produit avec une exponentielle

Quand f(x) = u(x) × v(x), on utilise la formule de dérivation d'un produit :

f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Deux dérivées à connaître par cœur :

la dérivée de e^x est e^x (elle-même) ;
la dérivée de e^−x est −e^−x : ne pas oublier le signe moins, qui vient de la dérivée de −x.

Étudier le signe de la dérivée

Une exponentielle est strictement positive pour tout x réel, que l'exposant soit x, −x ou toute autre expression. C'est la clé pour étudier le signe de f'(x) : si f'(x) se factorise sous la forme f'(x) = (expression) × e^..., alors le signe de f'(x) est exactement celui de l'expression restante, puisque le facteur exponentiel ne change jamais de signe.

Les limites : croissances comparées

En +∞, l'exponentielle l'emporte toujours sur une puissance de x. Le résultat à connaître :

lim_x→+∞ x·e^−x = 0

Plus généralement, pour tout entier n, xⁿ·e^−x tend vers 0 en +∞ : on dit que l'exponentielle « écrase » les puissances de x. En −∞, il n'y a en revanche pas de compétition : e^−x tend vers +∞ et un polynôme en x garde son propre comportement, donc on calcule la limite du produit directement.

⚠️ Le piège classique

Beaucoup d'élèves oublient la règle du produit et dérivent e^−x comme si c'était e^x, en gardant le même signe. Résultat : le signe de f'(x) est inversé, et tout le tableau de variations devient faux. Avant de conclure, vérifie toujours ta dérivée en la recalculant terme par terme, et rappelle-toi que e^−x se dérive en −e^−x.

Exercice corrigé

Énoncé. On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x + 1)e^−x.

Calculer f'(x).
Étudier le signe de f'(x) et en déduire les variations de f.
Calculer les limites de f en −∞ et en +∞, puis dresser le tableau de variations complet.

1) Dérivée.
On pose u(x) = x + 1, donc u'(x) = 1, et v(x) = e^−x, donc v'(x) = −e^−x.
f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = e^−x + (x + 1)(−e^−x) = e^−x[1 − (x + 1)] = −x·e^−x.

2) Signe et variations.
e^−x > 0 pour tout x, donc le signe de f'(x) = −x·e^−x est celui de −x.
Si x < 0, alors −x > 0, donc f'(x) > 0 : f est croissante sur ]−∞ ; 0].
Si x > 0, alors −x < 0, donc f'(x) < 0 : f est décroissante sur [0 ; +∞[.
f admet donc un maximum local en x = 0, qui vaut f(0) = (0 + 1)e⁰ = 1.

3) Limites et tableau de variations.
En −∞ : posons x = −t avec t → +∞. Alors f(−t) = (1 − t)e^t, et t·e^t → +∞ avec un coefficient négatif, donc lim_x→−∞ f(x) = −∞.
En +∞ : f(x) = x·e^−x + e^−x. Par croissances comparées, x·e^−x → 0 et e^−x → 0, donc lim_x→+∞ f(x) = 0.

x	−∞		0		+∞
f'(x)		+	0	−
f(x)	−∞	↗	1	↘	0

Vérification rapide : f(−2) ≈ −7,39 (cohérent avec la croissance depuis −∞), f(0) = 1 (le maximum), et f(5) ≈ 0,04, qui se rapproche bien de 0 sans jamais l'atteindre. Le résultat est confirmé.

Ce qu'il faut retenir

Pour dériver un produit avec une exponentielle, applique (uv)' = u'v + uv' en n'oubliant jamais le signe qui vient de la dérivée de e^−x. Une fois f'(x) factorisée avec un facteur exponentiel, son signe ne dépend que de l'autre facteur, puisqu'une exponentielle est toujours strictement positive. Pour les limites en +∞, pense aux croissances comparées : l'exponentielle l'emporte toujours sur une puissance de x.

Questions fréquentes

Comment dériver un produit avec une exponentielle ?

On applique la formule (uv)' = u'v + uv'. La dérivée de e^x est e^x, et la dérivée de e^−x est −e^−x : ne pas oublier le signe moins qui vient de la dérivation de −x.

Pourquoi le signe de f'(x) ne dépend-il que d'un seul facteur ?

Parce qu'une exponentielle est strictement positive pour tout x réel. Si f'(x) s'écrit comme un produit contenant e^x ou e^−x, le signe de f'(x) est donc entièrement déterminé par le signe de l'autre facteur.

Que dit la croissance comparée entre x et e^x ?

En +∞, l'exponentielle l'emporte toujours sur une puissance de x : lim x·e^−x = 0 et plus généralement lim xⁿ·e^−x = 0 quand x tend vers +∞, quel que soit l'entier n.

Comment lire un extremum sur un tableau de variations ?

Un extremum local apparaît là où f'(x) change de signe. Si f' passe de + à −, c'est un maximum local ; si elle passe de − à +, c'est un minimum local. La valeur de l'extremum est f évaluée en ce point.

Fiche rédigée par Benjamin Wehnert, professeur de mathématiques, créateur d'Hypatiex et de la chaîne TikTok @hypatiex.
Mise à jour le 24 septembre 2026

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