Limites de fonctions : lever une forme indéterminée, méthode et exercice corrigé
Calculer une limite paraît simple… jusqu'au moment où l'on tombe sur « ∞ − ∞ » ou « 0/0 ». Ces formes indéterminées sont le piège numéro un du chapitre « Limites de fonctions » en Terminale : on ne peut pas conclure directement, il faut transformer l'expression. Voici les trois techniques à connaître, le piège à éviter et un exercice corrigé pas à pas.
Les limites à connaître
- Polynôme en ±∞ : la limite est celle de son terme de plus haut degré. Par exemple, 3x² − 2x + 1 se comporte comme 3x² et tend vers +∞ en +∞.
- Fraction rationnelle en ±∞ : la limite est celle du quotient des termes de plus haut degré.
- Dénominateur qui tend vers 0 avec un numérateur qui ne tend pas vers 0 : on étudie le signe du dénominateur (0+ ou 0−) pour trouver +∞ ou −∞.
Les quatre formes indéterminées
Ces formes ne permettent pas de conclure directement : ∞ − ∞ · ∞/∞ · 0/0 · 0 × ∞
Trois techniques les lèvent le plus souvent :
- Factoriser le terme dominant (∞/∞, ∞ − ∞ avec des polynômes) : on met xn en facteur en haut et en bas, puis on simplifie.
- Factoriser et simplifier (0/0) : on factorise le numérateur et le dénominateur, on simplifie le facteur qui s'annule.
- Multiplier par l'expression conjuguée (différence avec des racines carrées) : (√a − b)(√a + b) = a − b².
Écrire « ∞/∞ = 1 » ou « ∞ − ∞ = 0 ». Ces égalités sont fausses : avec 3x² et x², le quotient ∞/∞ tend vers 3, pas vers 1. Deuxième erreur fréquente : conclure « +∞ » pour une limite en 3 sans avoir regardé le signe du dénominateur des deux côtés de 3.
Exercice corrigé
Énoncé. Calculer les limites suivantes.
- limx→+∞ (3x² − 2x + 1)/(x² + 5x)
- limx→+∞ (√(x² + x) − x)
- limx→2 (x² − 4)/(x − 2)
- Soit f(x) = (2x + 1)/(x − 3). Étudier les limites de f en −∞, en +∞ et en 3, et en déduire les asymptotes.
Pour x > 0, (3x² − 2x + 1)/(x² + 5x) = x²(3 − 2/x + 1/x²) / [x²(1 + 5/x)] = (3 − 2/x + 1/x²)/(1 + 5/x).
Comme 2/x, 1/x² et 5/x tendent vers 0, la limite vaut 3/1 = 3.
Contrôle : pour x = 1 000, on trouve 2 998 001/1 005 000 ≈ 2,98. ✓
√(x² + x) − x = [(x² + x) − x²] / [√(x² + x) + x] = x / [√(x² + x) + x].
Pour x > 0 : x / [x√(1 + 1/x) + x] = 1 / [√(1 + 1/x) + 1].
Quand x → +∞, √(1 + 1/x) → 1, donc la limite vaut 1/2.
Contrôle : pour x = 100, √10 100 − 100 ≈ 0,499. ✓
x² − 4 = (x − 2)(x + 2), donc pour x ≠ 2, (x² − 4)/(x − 2) = x + 2.
La limite en 2 vaut 4.
En ±∞ : f(x) = (2 + 1/x)/(1 − 3/x) → 2/1 = 2. La droite y = 2 est asymptote horizontale.
En 3 : le numérateur 2x + 1 tend vers 7 > 0. Si x > 3 (x → 3+), x − 3 tend vers 0+ donc f(x) → +∞ ; si x < 3 (x → 3−), x − 3 tend vers 0− donc f(x) → −∞. La droite x = 3 est asymptote verticale.
Vérification : f(x) = 2 + 7/(x − 3), ce qui redonne les mêmes limites. ✓
Ce qu'il faut retenir
Avant tout calcul, remplace x par la valeur visée pour repérer une forme indéterminée. Si elle apparaît, choisis la technique : terme dominant, factorisation ou conjugué. Une limite finie ℓ en ±∞ donne une asymptote horizontale y = ℓ ; une limite infinie en a donne une asymptote verticale x = a.
Questions fréquentes
Qu'est-ce qu'une forme indéterminée ?
C'est une expression dont on ne peut pas connaître la limite directement, comme ∞ − ∞, ∞/∞, 0/0 ou 0 × ∞. Selon les fonctions, le résultat peut être un nombre, l'infini, ou rien du tout : il faut transformer l'expression.
Comment calculer la limite d'une fraction rationnelle en l'infini ?
On met le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au dénominateur, ou plus simplement on prend le quotient des termes de plus haut degré. Par exemple, (3x² − 2x + 1)/(x² + 5x) tend vers 3 en +∞.
Comment lever une forme 0/0 ?
On factorise le numérateur et le dénominateur pour simplifier le facteur qui s'annule, comme (x² − 4)/(x − 2) = x + 2. Avec des racines carrées, on multiplie par l'expression conjuguée.
Comment reconnaître une asymptote verticale ou horizontale ?
Si la limite de f en a est +∞ ou −∞, la droite x = a est asymptote verticale. Si la limite de f en +∞ ou −∞ est un nombre ℓ, la droite y = ℓ est asymptote horizontale.
Un exercice expliqué chaque jour à 18h
Méthodes express, pièges classiques et questions type contrôle, en moins d'une minute, sur TikTok.
Suivre @hypatiex ↗Formulaires, cours et TD en accès libre
Les formulaires de maths et de physique-chimie, de la Seconde à la Terminale, et les cours et TD d'optique du BTS Opticien sont disponibles gratuitement.
Voir le catalogue ↗