Fonction affine : sens de variation et signe
Une fonction affine est l'une des fonctions les plus utilisées en Seconde, et elle revient sans arrêt en Première et en Terminale. Voici la méthode complète pour étudier ses variations et son signe, avec le piège classique qui fait perdre des points en contrôle.
Qu'est-ce qu'une fonction affine ?
Une fonction affine est une fonction de la forme :
f(x) = ax + b
où a et b sont deux nombres réels fixés. a s'appelle le coefficient directeur (il indique la pente de la droite), et b l'ordonnée à l'origine (la valeur de f en x = 0). Sa représentation graphique est toujours une droite.
Sens de variation d'une fonction affine
Le sens de variation d'une fonction affine ne dépend que du signe de a :
- Si a > 0, alors f est croissante sur ℝ (la droite « monte »).
- Si a < 0, alors f est décroissante sur ℝ (la droite « descend »).
- Si a = 0, alors f est constante (f(x) = b pour tout x).
Aucun calcul n'est nécessaire ici : il suffit de lire le signe de a.
Étudier le signe d'une fonction affine
Pour étudier le signe de f(x) = ax + b (avec a ≠ 0), on procède toujours dans le même ordre :
- On calcule la valeur de x qui annule f, c'est-à-dire on résout f(x) = 0.
- On plaque le résultat sur un tableau de signes, en tenant compte du sens de variation trouvé juste avant.
Comme f est strictement croissante ou strictement décroissante sur ℝ, elle ne s'annule qu'une seule fois : le tableau de signes change donc de signe une seule fois, exactement en cette valeur.
Quand on résout une inéquation du type -3x + 9 > 0 et qu'on divise les deux membres par un nombre négatif, il faut inverser le sens de l'inégalité. C'est l'erreur la plus fréquente sur ce chapitre : beaucoup d'élèves oublient de retourner le signe et trouvent un tableau de signes inversé.
Exercice corrigé
Énoncé. On considère la fonction affine définie sur ℝ par f(x) = -3x + 9.
- Déterminer le sens de variation de f.
- Résoudre l'équation f(x) = 0.
- En déduire le tableau de signes de f(x).
On identifie a = -3 et b = 9. Comme a = -3 < 0, la fonction f est décroissante sur ℝ.
-3x + 9 = 0
-3x = -9
x = -9 / -3 = 3
On divise ici par -3 des deux côtés : le signe « = » n'est pas concerné par le piège (il ne s'inverse que pour < ou >). f(x) s'annule donc en x = 3.
f est décroissante et s'annule en x = 3, donc elle est positive avant 3 et négative après :
| x | -∞ | 3 | +∞ | |
|---|---|---|---|---|
| f(x) | + | 0 | - | |
Ce qu'il faut retenir
Pour toute fonction affine f(x) = ax + b : le signe de a donne directement le sens de variation, la résolution de f(x) = 0 donne l'unique valeur où f change de signe, et le tableau de signes se déduit du sens de variation. Pense toujours à vérifier ton résultat avec une valeur simple, comme x = 0, pour repérer une erreur de signe avant de rendre ta copie.
Questions fréquentes
Comment savoir si une fonction affine est croissante ?
On regarde le coefficient directeur a : si a > 0, la fonction est croissante ; si a < 0, elle est décroissante ; si a = 0, elle est constante.
Où une fonction affine s'annule-t-elle ?
Si a ≠ 0, la fonction f(x) = ax + b s'annule en x = −b/a. C'est la valeur où le signe de f(x) change.
Quelle est la différence entre fonction affine et fonction linéaire ?
Une fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0 : f(x) = ax. Sa droite passe par l'origine du repère.
Comment lire a et b sur le graphique ?
b est l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées. a est la variation de y quand x augmente de 1 : on avance de 1 vers la droite et on compte de combien on monte ou on descend.
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