Second degré : discriminant, racines et signe
Le second degré est l'une des notions les plus travaillées en Première, et elle revient constamment en Terminale (étude de fonctions, dérivation) et au BTS. Voici la méthode complète pour calculer le discriminant, trouver les racines et étudier le signe d'un trinôme, avec le piège classique qui coûte le plus de points en contrôle.
Qu'est-ce qu'un trinôme du second degré ?
Un trinôme du second degré est une fonction de la forme :
f(x) = ax² + bx + c
où a, b et c sont des nombres réels fixés, avec a ≠ 0. Sa représentation graphique est une parabole : tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Calculer le discriminant
Le discriminant, noté Δ (delta), indique combien de solutions possède l'équation f(x) = 0. Il se calcule avec la formule :
Δ = b² - 4ac
Trois cas se présentent :
- Si Δ > 0, l'équation f(x) = 0 a deux solutions distinctes.
- Si Δ = 0, l'équation a une solution unique (on parle de racine double).
- Si Δ < 0, l'équation n'a aucune solution réelle.
Trouver les racines
Quand Δ ≥ 0, les racines se calculent avec les formules :
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a)
Quand Δ = 0, la racine double vaut simplement x₀ = -b / (2a).
Étudier le signe du trinôme
La règle du signe (à connaître par cœur) dépend du signe de Δ :
- Si Δ < 0 : f(x) garde le signe de a pour tout x réel.
- Si Δ = 0 : f(x) a le signe de a pour tout x ≠ x₀ (et s'annule en x₀).
- Si Δ > 0, avec x₁ < x₂ : f(x) a le signe de a à l'extérieur des racines (x < x₁ ou x > x₂), et le signe opposé à a entre les racines (x₁ < x < x₂).
Beaucoup d'élèves retiennent « le trinôme est positif entre les racines » sans faire attention au signe de a. Cette phrase n'est vraie que si a > 0 ! Si a < 0, c'est l'inverse : le trinôme est négatif entre les racines et positif à l'extérieur. Avant d'écrire le tableau de signes, regarde toujours le signe de a en premier.
Exercice corrigé
Énoncé. On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2x² - 3x - 5.
- Calculer le discriminant de f.
- En déduire les racines de f.
- Dresser le tableau de signes de f(x).
On identifie a = 2, b = -3, c = -5.
Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4×2×(-5) = 9 + 40 = 49.
Comme Δ > 0, f a deux racines distinctes.
√Δ = √49 = 7.
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) = (3 - 7) / 4 = -4/4 = -1
x₂ = (-b + √Δ) / (2a) = (3 + 7) / 4 = 10/4 = 2,5
Ici a = 2 > 0, donc f(x) est positive à l'extérieur des racines et négative entre les racines :
| x | -∞ | -1 | 2,5 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | + | 0 | - | 0 | + | |
Ce qu'il faut retenir
Pour tout trinôme f(x) = ax² + bx + c : le discriminant Δ = b² - 4ac donne le nombre de racines, la formule (-b ± √Δ)/(2a) donne leur valeur, et le signe du trinôme se déduit du signe de a et de la position par rapport aux racines. Pense toujours à vérifier ton tableau de signes avec une valeur simple, comme x = 0, pour repérer une erreur avant de rendre ta copie.
Questions fréquentes
Que faire quand le discriminant est négatif ?
Si Δ < 0, le trinôme n'a aucune racine réelle : l'équation ax² + bx + c = 0 n'a pas de solution, le trinôme ne se factorise pas et il garde le signe de a pour tout x.
Comment trouver le sommet de la parabole ?
Le sommet a pour abscisse α = −b/(2a) et pour ordonnée β = f(α). C'est aussi la forme canonique : f(x) = a(x − α)² + β.
Comment factoriser un trinôme du second degré ?
Si Δ > 0, f(x) = a(x − x₁)(x − x₂). Si Δ = 0, f(x) = a(x − x₀)². Si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas dans les réels.
Faut-il toujours calculer le discriminant ?
Non. Si c = 0, on factorise directement par x : ax² + bx = x(ax + b). Si b = 0, on isole x² : x² = −c/a. Le discriminant reste la méthode qui marche dans tous les cas.
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