Ensembles de nombres et intervalles : la méthode
Classer un nombre dans N, Z, D, Q ou R et écrire un intervalle correctement sont deux réflexes attendus dès la rentrée de Seconde, et qui reviennent dans presque tous les exercices ensuite. Voici la méthode complète, un exercice corrigé pas à pas, et le piège classique à éviter avec les crochets.
Les ensembles de nombres emboîtés
Les nombres que tu manipules au lycée sont rangés dans cinq ensembles, chacun contenu dans le suivant :
- N, les entiers naturels : 0, 1, 2, 3…
- Z, les entiers relatifs : …, -2, -1, 0, 1, 2…
- D, les nombres décimaux : ceux dont l'écriture décimale s'arrête, comme 3,5 ou -1,25.
- Q, les nombres rationnels : ceux qui s'écrivent comme une fraction a/b avec b ≠ 0, y compris quand la partie décimale ne s'arrête jamais mais se répète, comme 1/3 = 0,333…
- R, les nombres réels : tous les nombres précédents, plus les nombres dont l'écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète pas, comme √2 ou π.
On a donc N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Pour classer un nombre, la règle est toujours la même : on cherche le plus petit de ces ensembles auquel il appartient.
Écrire un intervalle
Un intervalle est une portion de la droite des réels, délimitée par deux bornes. La forme du crochet indique si la borne est incluse ou exclue :
| Écriture | Signification | Avec des inégalités |
|---|---|---|
| [a;b] | a et b inclus | a ⩽ x ⩽ b |
| ]a;b[ | a et b exclus | a < x < b |
| [a;b[ | a inclus, b exclu | a ⩽ x < b |
| ]-∞;a] | a inclus | x ⩽ a |
Le crochet est tourné vers l'intérieur ([ ou ]) quand la borne est incluse, et tourné vers l'extérieur (] ou [) quand elle est exclue.
Le crochet du côté de -∞ ou +∞ est toujours ouvert, c'est-à-dire tourné vers l'extérieur : on écrit ]-∞;3] ou [2;+∞[, jamais [-∞;3] ou [2;+∞]. L'infini n'est pas un nombre : on ne peut donc jamais l'atteindre ni l'inclure dans l'intervalle. Beaucoup d'élèves oublient ce détail et perdent des points pour un simple crochet mal orienté.
Exercice corrigé
Énoncé. On considère les nombres a = -3, b = 7/2, c = √9, d = √2 et e = -1,25, ainsi que les intervalles A = [-4;2[ et B = ]0;5].
- Pour chacun des nombres a, b, c, d, e, donner le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q, R auquel il appartient.
- Déterminer A ∩ B et A ∪ B.
- Le nombre b appartient-il à A ∪ B ?
a = -3 est un entier négatif : il n'est pas dans N, mais il est dans Z.
b = 7/2 = 3,5 : l'écriture décimale s'arrête, donc b est dans D (et donc aussi dans Q et R, mais D est le plus petit).
c = √9 = 3 : c'est un entier positif, donc c est dans N.
d = √2 ≈ 1,41421356… : son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne se répète pas, donc d n'est ni décimal ni rationnel ; il est seulement dans R.
e = -1,25 = -5/4 : l'écriture décimale s'arrête, donc e est dans D.
A = [-4;2[ regroupe les x tels que -4 ⩽ x < 2. B = ]0;5] regroupe les x tels que 0 < x ⩽ 5.
A ∩ B : il faut à la fois x < 2 (contrainte de A) et x > 0 (contrainte de B), donc A ∩ B = ]0;2[.
A ∪ B : A couvre déjà [-4;2[, et B prolonge à partir de 0 (donc sans créer de trou, puisque 0 est déjà dans A) jusqu'à 5 inclus. Donc A ∪ B = [-4;5].
b = 3,5. Comme -4 ⩽ 3,5 ⩽ 5, on a bien b ∈ A ∪ B.
Ce qu'il faut retenir
Pour classer un nombre, cherche le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q, R auquel il appartient. Pour écrire un intervalle, la forme du crochet donne directement l'inégalité correspondante, et le côté de l'infini est toujours ouvert. Pour une intersection ou une union, place toujours les deux intervalles sur une même droite graduée : la lecture devient immédiate.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre un intervalle ouvert et un intervalle fermé ?
Dans un intervalle fermé, les crochets sont tournés vers l'intérieur ([a;b]) et les bornes a et b appartiennent à l'intervalle. Dans un intervalle ouvert, les crochets sont tournés vers l'extérieur (]a;b[) et les bornes sont exclues.
Comment savoir dans quel ensemble de nombres classer un nombre ?
On part du plus petit ensemble, N, et on remonte : entier positif ou nul → N ; entier négatif → Z ; écriture décimale qui s'arrête → D ; fraction non décimale → Q ; nombre qui n'est ni décimal ni fractionnaire (comme √2 ou π) → R uniquement.
Pourquoi le crochet est-il toujours ouvert du côté de l'infini ?
L'infini n'est pas un nombre : on ne peut jamais l'atteindre, donc jamais l'inclure dans un intervalle. Le crochet du côté de -∞ ou +∞ est donc toujours tourné vers l'extérieur.
Comment calculer l'intersection ou l'union de deux intervalles ?
On place les deux intervalles sur une même droite graduée. L'intersection est la partie commune aux deux ; l'union regroupe tous les nombres appartenant à l'un au moins des deux intervalles.
Un exercice expliqué chaque jour à 18h
Méthodes express, pièges classiques et questions type contrôle, en moins d'une minute, sur TikTok.
Suivre @hypatiex ↗Formulaires, cours et TD en accès libre
Les formulaires de maths et de physique-chimie, de la Seconde à la Terminale, et les cours et TD d'optique du BTS Opticien sont disponibles gratuitement.
Voir le catalogue ↗