Suite géométrique : raison et terme général
Après la suite arithmétique, la suite géométrique est le second grand type de suite du programme de Première, et elle prépare directement l'exponentielle de Terminale. Voici la méthode pour reconnaître une suite géométrique, calculer sa raison et exprimer son terme général, avec le piège classique qui coûte des points en contrôle.
Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite (u_n), dont tous les termes sont non nuls, est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, appelé la raison et noté q :
u(n+1) = q × u(n)
Pour vérifier qu'une suite est géométrique, on calcule le quotient u(n+1) / u(n) pour plusieurs valeurs de n : si le résultat est toujours le même nombre, la suite est géométrique et ce nombre est sa raison.
La formule du terme général
Si (u_n) est géométrique de premier terme u0 et de raison q, on peut calculer n'importe quel terme sans passer par tous les précédents, grâce à la formule du terme général :
u_n = u0 × qn
Plus généralement, entre deux termes quelconques u_p et u_n (avec n > p) : u_n = u_p × qn-p
Sens de variation d'une suite géométrique
Contrairement à une suite arithmétique, le sens de variation dépend à la fois du signe de u0 et de la valeur de q :
| Signe de u0 | Valeur de q | Sens de variation |
|---|---|---|
| u0 > 0 | q > 1 | croissante |
| u0 > 0 | 0 < q < 1 | décroissante |
| u0 < 0 | q > 1 | décroissante |
| u0 < 0 | 0 < q < 1 | croissante |
Si q = 1, la suite est constante. Si q < 0, la suite n'est pas monotone : ses termes changent de signe à chaque rang, elle alterne des valeurs positives et négatives.
Beaucoup d'élèves appliquent par réflexe « q > 1 donc la suite est croissante », en oubliant de vérifier le signe de u0. Si u0 est négatif et q > 1, la suite est en réalité décroissante : ses termes deviennent de plus en plus négatifs. Vérifie toujours les deux conditions ensemble avant de conclure, et si q est négatif, ne parle jamais de sens de variation : la suite alterne.
Exercice corrigé
Énoncé. (u_n) est une suite géométrique à termes strictement positifs telle que u0 = 5 et u3 = 135.
- Calculer la raison q de la suite.
- Exprimer u_n en fonction de n.
- Calculer u6.
- Déterminer le sens de variation de la suite.
On utilise u_n = u_p × qn-p avec p = 0 et n = 3 :
u3 = u0 × q³ ⟺ 135 = 5 × q³ ⟺ q³ = 27
Comme la suite est à termes strictement positifs, on prend la racine cubique réelle : q = 3 (car 3³ = 27).
u_n = u0 × qn = 5 × 3n, donc pour tout entier n : u_n = 5 × 3n
u6 = 5 × 3⁶ = 5 × 729 = 3645
Vérification : u3 = 5 × 3³ = 5 × 27 = 135, ce qui correspond bien à la donnée de l'énoncé.
u0 = 5 > 0 et q = 3 > 1, donc la suite (u_n) est croissante.
Ce qu'il faut retenir
Une suite géométrique avance toujours en multipliant par le même nombre q. Sa formule u_n = u0 × qn permet de calculer n'importe quel terme directement, sa raison se retrouve à partir de deux termes connus, et son sens de variation dépend à la fois du signe de u0 et de la valeur de q. Vérifie toujours ton résultat en recalculant un terme déjà donné dans l'énoncé.
Questions fréquentes
Comment reconnaître qu'une suite est géométrique ?
Une suite est géométrique si on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre, la raison q. On vérifie en calculant u(n+1)/u(n) pour plusieurs valeurs de n : si le résultat est constant, la suite est géométrique.
Quelle est la formule du terme général d'une suite géométrique ?
Si (u_n) est géométrique de premier terme u0 et de raison q, alors pour tout entier n : u_n = u0 × q puissance n. Cette formule permet de calculer n'importe quel terme sans passer par les précédents.
Comment savoir si une suite géométrique est croissante ou décroissante ?
Cela dépend du signe de u0 et de la valeur de q. Si u0 > 0, la suite croît quand q > 1 et décroît quand 0 < q < 1. Si u0 < 0, c'est l'inverse. Si q < 0, la suite n'est pas monotone : elle change de signe à chaque terme.
Quelle est la différence entre suite arithmétique et suite géométrique ?
Une suite arithmétique avance en ajoutant toujours la même raison r. Une suite géométrique avance en multipliant toujours par la même raison q. La première évolue de façon linéaire, la seconde de façon exponentielle.
Un exercice expliqué chaque jour à 18h
Méthodes express, pièges classiques et questions type contrôle, en moins d'une minute, sur TikTok.
Suivre @hypatiex ↗Formulaires, cours et TD en accès libre
Les formulaires de maths et de physique-chimie, de la Seconde à la Terminale, et les cours et TD d'optique du BTS Opticien sont disponibles gratuitement.
Voir le catalogue ↗