Suite arithmétique : raison et terme général

Les suites arithmétiques sont l'un des premiers grands chapitres de Première, et elles préparent directement les suites géométriques et le raisonnement par récurrence de Terminale. Voici la méthode pour reconnaître une suite arithmétique, calculer sa raison et exprimer son terme général, avec le piège classique qui coûte des points en contrôle.

Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?

Une suite (u_n) est arithmétique si on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre, appelé la raison et noté r :

u(n+1) = u(n) + r

Pour vérifier qu'une suite est arithmétique, on calcule u(n+1) - u(n) pour plusieurs valeurs de n : si le résultat est toujours le même nombre, la suite est arithmétique et ce nombre est sa raison.

La formule du terme général

Si (u_n) est arithmétique de premier terme u0 et de raison r, on peut calculer n'importe quel terme sans passer par tous les précédents, grâce à la formule du terme général :

u_n = u0 + n × r

Plus généralement, entre deux termes quelconques u_p et u_q : u_q = u_p + (q - p) × r

Sens de variation d'une suite arithmétique

Le sens de variation d'une suite arithmétique ne dépend que du signe de la raison r :

• Si r > 0, la suite est croissante.
• Si r < 0, la suite est décroissante.
• Si r = 0, la suite est constante.

Comme pour une fonction affine, aucun calcul supplémentaire n'est nécessaire : le signe de r suffit.

Ce qu'il faut retenir

Une suite arithmétique avance toujours du même pas r. Sa formule u_n = u0 + n × r permet de calculer n'importe quel terme directement, sa raison se retrouve à partir de deux termes connus, et son sens de variation se lit uniquement sur le signe de r. Vérifie toujours ton résultat en recalculant un terme déjà donné dans l'énoncé.