Équation de la tangente et nombre dérivé (Première)
La dérivation est l'un des grands chapitres de Première, et l'équation de la tangente tombe presque à chaque contrôle. Voici la méthode en trois étapes pour la trouver sans erreur, avec un exercice corrigé, un schéma vérifié par le calcul et le piège classique.
Le nombre dérivé, pente de la tangente
Soit f une fonction dérivable en a. Le nombre dérivé f′(a) est la limite du taux d'accroissement (f(a+h) − f(a)) / h quand h tend vers 0. Graphiquement, c'est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
L'équation de la tangente
La tangente à la courbe de f au point A d'abscisse a a pour équation :
y = f′(a) (x − a) + f(a)
Pour l'obtenir, il faut donc trois ingrédients : a, la valeur f(a) et le nombre dérivé f′(a). Pour calculer f′(a), on dérive d'abord f, puis on remplace x par a.
| f(x) | f′(x) |
|---|---|
| k (constante) | 0 |
| x | 1 |
| x² | 2x |
| xⁿ | n xⁿ⁻¹ |
| 1/x | −1/x² |
Deux erreurs reviennent sans cesse : oublier + f(a) à la fin (on obtient alors une droite qui passe par l'origine du repère, pas par A), et mélanger f′(x) et f′(a) : dans l'équation, le coefficient directeur est un nombre, f′(a), pas une expression en x. Vérifie toujours que ta droite passe bien par A(a ; f(a)).
Exercice corrigé
Énoncé. Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² − 3x + 1.
- Calculer f′(x), puis le nombre dérivé f′(2).
- Déterminer l'équation de la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 2.
- Existe-t-il une tangente parallèle à la droite d'équation y = 5x + 1 ? Si oui, donner son équation.
f′(x) = 2x − 3, donc f′(2) = 2 × 2 − 3 = 1.
f(2) = 2² − 3 × 2 + 1 = 4 − 6 + 1 = −1.
T : y = f′(2)(x − 2) + f(2) = 1 × (x − 2) + (−1) = x − 3.
L'équation est y = x − 3. Vérification : pour x = 2, y = −1 = f(2) ✓.
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur : on cherche a tel que f′(a) = 5, soit 2a − 3 = 5, donc a = 4.
f(4) = 16 − 12 + 1 = 5, et f′(4) = 5, donc y = 5(x − 4) + 5 = 5x − 15.
La tangente au point d'abscisse 4 a pour équation y = 5x − 15. Vérification : pour x = 4, y = 5 = f(4) ✓.
Ce qu'il faut retenir
Le nombre dérivé f′(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse a, et l'équation de cette tangente est y = f′(a)(x − a) + f(a). Calcule d'abord f(a), puis f′(x), puis f′(a), et vérifie que ta droite passe par le point de la courbe. Pour une tangente parallèle à une droite donnée, on résout f′(a) égal à la pente de cette droite.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre f′(a) et f′(x) ?
f′(x) est la fonction dérivée, une expression qui dépend de x. f′(a) est le nombre obtenu en remplaçant x par a : c'est la pente de la tangente au point d'abscisse a.
Comment trouver l'équation de la tangente en un point ?
On calcule f(a), la dérivée f′(x) puis f′(a), et on applique y = f′(a)(x − a) + f(a). On développe ensuite pour écrire l'équation sous la forme y = mx + p.
Que signifie f′(a) = 0 ?
La tangente au point d'abscisse a est horizontale : son équation est y = f(a). C'est souvent le cas au sommet d'une parabole ou à un extremum de la fonction.
Comment trouver une tangente parallèle à une droite donnée ?
On résout l'équation f′(a) = m, où m est le coefficient directeur de la droite. On obtient l'abscisse du point de tangence, puis on écrit l'équation de la tangente avec la formule habituelle.
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