Fonction carré : variations, parabole et inéquation x² > k
La fonction carré, f(x) = x², est la première fonction « non linéaire » que tu rencontres en Seconde, et elle tombe à presque tous les contrôles. Sa courbe, la parabole, est la porte d'entrée du second degré en Première. Voici ses variations, comment comparer des carrés sans te tromper de signe, et comment résoudre une inéquation comme x² > 4.
Les variations de la fonction carré
La fonction f(x) = x² est définie sur ℝ. Elle ne garde pas le même sens de variation sur toute la droite réelle :
- sur ]−∞ ; 0], elle est décroissante ;
- sur [0 ; +∞[, elle est croissante ;
- elle admet un minimum égal à 0, atteint en x = 0.
| x | −∞ | 0 | +∞ |
|---|---|---|---|
| f(x) = x² | ↘ | 0 | ↗ |
Comme (−x)² = x², la fonction est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Deux nombres opposés ont toujours le même carré.
a ≤ b ≤ 0 ⇒ a² ≥ b² 0 ≤ a ≤ b ⇒ a² ≤ b²
Croire que « si a < b alors a² < b² ». C'est faux dès que les nombres sont négatifs : −3 < −2, mais (−3)² = 9 est plus grand que (−2)² = 4. Autre piège : l'image d'un intervalle contenant 0. L'image de [−2 ; 3] n'est pas [4 ; 9], car la fonction passe par son minimum 0.
Exercice corrigé
Énoncé. Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x².
- Comparer f(−3) et f(−2) en utilisant les variations de f.
- Déterminer l'ensemble des valeurs prises par f(x) quand x décrit [−2 ; 3].
- Résoudre dans ℝ l'équation x² = 4, puis l'inéquation x² > 4.
On a −3 < −2 ≤ 0, et f est décroissante sur ]−∞ ; 0]. Elle inverse donc l'ordre : f(−3) > f(−2).
Vérification : f(−3) = 9 et f(−2) = 4, et bien 9 > 4.
L'intervalle contient 0, où f atteint son minimum : f(0) = 0.
Sur [−2 ; 0], f décroît de f(−2) = 4 à 0. Sur [0 ; 3], f croît de 0 à f(3) = 9.
Le maximum est donc le plus grand des deux extrémités : max(4 ; 9) = 9. Les valeurs prises forment l'intervalle [0 ; 9].
x² = 4 équivaut à x = 2 ou x = −2, donc S = {−2 ; 2}.
Pour x² > 4 : sur [0 ; +∞[, f est croissante et f(2) = 4, donc x² > 4 équivaut à x > 2. Par symétrie (f est paire), sur ]−∞ ; 0], x² > 4 équivaut à x < −2.
S = ]−∞ ; −2[ ∪ ]2 ; +∞[. Le schéma le confirme : la parabole est au-dessus de la droite y = 4 pour x < −2 et x > 2.
Ce qu'il faut retenir
La fonction carré décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[, avec un minimum 0 en x = 0. Pour comparer deux carrés, regarde d'abord le signe des nombres : du côté négatif, l'ordre s'inverse. Pour une inéquation du type x² > k avec k > 0, pense toujours aux deux côtés de la parabole.
Questions fréquentes
Pourquoi la fonction carré n'est-elle ni croissante ni décroissante sur ℝ ?
Elle décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît sur [0 ; +∞[. Son sens de variation change en 0, donc elle n'est monotone sur aucun intervalle contenant 0 en son intérieur.
L'équation x² = 4 a-t-elle une seule solution ?
Non, elle en a deux : −2 et 2, car deux nombres opposés ont le même carré. L'équation x² = −1 n'a aucune solution, puisqu'un carré est toujours positif ou nul.
A-t-on toujours a² < b² quand a < b ?
Non. C'est vrai seulement si 0 ≤ a < b. Pour deux nombres négatifs, l'ordre s'inverse : −3 < −2 mais (−3)² = 9 > 4 = (−2)².
Que signifie « la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées » ?
Cela veut dire que f(−x) = f(x) pour tout x : la fonction est paire. Les points (x ; x²) et (−x ; x²) de la courbe sont symétriques l'un de l'autre.
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