Développer et factoriser une expression
Développer et factoriser sont les deux compétences de calcul les plus utilisées en Seconde, et elles servent dans presque tous les chapitres qui suivent : équations, inéquations, fonctions. Voici la méthode complète, les identités remarquables à connaître par cœur, et le piège classique qui fait perdre du temps en contrôle.
Développer une expression : la distributivité
Développer, c'est transformer un produit en une somme, en supprimant les parenthèses. La règle de base est la distributivité simple :
a(b + c) = ab + ac
Quand deux parenthèses se multiplient, on parle de double distributivité : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Les trois identités remarquables
Ces trois égalités reviennent sans arrêt et doivent être connues dans les deux sens (pour développer, mais aussi pour factoriser) :
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a - b)(a + b) = a² - b²
Factoriser une expression
Factoriser, c'est l'inverse de développer : transformer une somme en un produit. Deux techniques principales sont au programme de Seconde :
- Le facteur commun. Si un même terme apparaît dans chaque partie de la somme, on le met en facteur devant une parenthèse. Exemple : 3x² + 6x = 3x × x + 3x × 2 = 3x(x + 2).
- Les identités remarquables « à l'envers ». Si l'expression a la forme a² - b², a² + 2ab + b² ou a² - 2ab + b², on reconnaît directement le produit correspondant. Exemple : x² - 25 = x² - 5² = (x - 5)(x + 5).
Face à une expression comme (2x-1)² - (x+3)(2x-1), le réflexe le plus fréquent est de tout développer avant de chercher à factoriser. C'est plus long et ça multiplie les risques d'erreur de signe. Le bon réflexe : regarder d'abord si une parenthèse identique se répète dans l'expression — ici (2x-1) — et la sortir directement en facteur commun.
Exercice corrigé
Énoncé. On considère l'expression A(x) = (2x - 1)² - (x + 3)(2x - 1).
- Développer et réduire A(x).
- Factoriser A(x) en utilisant un facteur commun.
- Résoudre l'équation A(x) = 0.
(2x - 1)² = (2x)² - 2×2x×1 + 1² = 4x² - 4x + 1
(x + 3)(2x - 1) = 2x² - x + 6x - 3 = 2x² + 5x - 3
A(x) = (4x² - 4x + 1) - (2x² + 5x - 3) = 4x² - 4x + 1 - 2x² - 5x + 3 = 2x² - 9x + 4
Dans l'expression de départ, la parenthèse (2x - 1) apparaît dans les deux termes : on la met en facteur.
A(x) = (2x - 1) × (2x - 1) - (x + 3) × (2x - 1) = (2x - 1) [ (2x - 1) - (x + 3) ]
On réduit ce qui reste dans la parenthèse : (2x - 1) - (x + 3) = 2x - 1 - x - 3 = x - 4
A(x) = (2x - 1)(x - 4)
Vérification par développement : (2x-1)(x-4) = 2x² - 8x - x + 4 = 2x² - 9x + 4. On retrouve bien le résultat de la question 1.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
(2x - 1)(x - 4) = 0 ⟺ 2x - 1 = 0 ou x - 4 = 0 ⟺ x = 1/2 ou x = 4
L'équation A(x) = 0 a deux solutions : x = 1/2 et x = 4.
Ce qu'il faut retenir
Développer supprime les parenthèses, factoriser en fait apparaître. Avant de te lancer dans un développement long, regarde toujours si une parenthèse se répète ou si l'expression ressemble à une identité remarquable : c'est souvent le chemin le plus court, et le plus sûr, vers la factorisation.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre développer et factoriser ?
Développer, c'est transformer un produit en une somme (on supprime les parenthèses). Factoriser, c'est l'inverse : transformer une somme en un produit (on fait apparaître des parenthèses).
Quelles sont les trois identités remarquables à connaître en Seconde ?
(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b², et (a − b)(a + b) = a² − b². Elles doivent être connues dans les deux sens, pour développer comme pour factoriser.
Comment repérer un facteur commun dans une expression ?
On cherche un même terme (un nombre, une lettre ou une parenthèse entière) qui apparaît dans chacun des termes de la somme. On le met alors en facteur devant une parenthèse contenant ce qui reste.
Pourquoi ne faut-il pas toujours tout développer avant de factoriser ?
Si l'expression contient déjà une parenthèse répétée, comme dans (2x−1)² − (x+3)(2x−1), il suffit de repérer le facteur commun (2x−1) directement, sans tout développer d'abord : c'est souvent plus rapide et il y a moins de risques d'erreur de signe.
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