Forme canonique d'un trinôme : méthode, sommet et exercice corrigé
« Mets sous forme canonique » : c'est l'une des consignes les plus fréquentes en Première, et l'une des plus mal comprises. Pourtant, la forme canonique donne d'un coup d'œil le sommet de la parabole, le sens de variation et l'extremum d'un trinôme du second degré. Voici la méthode, le piège classique et un exercice corrigé pas à pas.
Qu'est-ce que la forme canonique ?
Tout trinôme f(x) = ax² + bx + c (avec a ≠ 0) peut s'écrire sous la forme :
f(x) = a(x − α)² + β
avec α = −b / (2a) et β = f(α). Le point S(α ; β) est le sommet de la parabole représentant f. C'est le point le plus bas si a > 0, le plus haut si a < 0 : β est donc le minimum ou le maximum de f.
Comment la trouver : la méthode en trois étapes
- Calculer α = −b / (2a).
- Calculer β = f(α) en remplaçant x par α dans l'expression de départ.
- Écrire f(x) = a(x − α)² + β, puis développer pour vérifier qu'on retrouve ax² + bx + c.
On peut aussi « compléter le carré » : on factorise a dans les termes en x² et en x, puis on reconnaît le début d'une identité remarquable. L'exercice ci-dessous montre les deux approches.
Se tromper de signe sur α. Dans a(x − α)² + β, le nombre α apparaît avec un signe moins : (x + 3)² + 1 correspond à α = −3, donc à un sommet d'abscisse −3, et non 3. Deuxième erreur fréquente : oublier le facteur a et écrire (x − 2)² − 5 au lieu de 2(x − 2)² − 5. Dans les deux cas, le développement de la réponse permet de repérer l'erreur.
Exercice corrigé
Énoncé. Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 2x² − 8x + 3.
- Mettre f(x) sous forme canonique.
- En déduire le tableau de variations de f et son extremum.
- Résoudre l'équation f(x) = 0.
Ici a = 2, b = −8 et c = 3.
α = −b / (2a) = 8 / 4 = 2.
β = f(2) = 2 × 2² − 8 × 2 + 3 = 8 − 16 + 3 = −5.
Donc f(x) = 2(x − 2)² − 5.
Vérification en développant : 2(x² − 4x + 4) − 5 = 2x² − 8x + 8 − 5 = 2x² − 8x + 3. ✓
Avec la méthode du carré : 2x² − 8x + 3 = 2(x² − 4x) + 3 = 2[(x − 2)² − 4] + 3 = 2(x − 2)² − 8 + 3 = 2(x − 2)² − 5. On retrouve le même résultat.
Comme a = 2 > 0, la parabole est tournée vers le haut : f est décroissante sur ]−∞ ; 2], croissante sur [2 ; +∞[, et admet un minimum égal à −5, atteint en x = 2. Le sommet est S(2 ; −5).
On part de la forme canonique : 2(x − 2)² − 5 = 0, donc (x − 2)² = 5/2.
Comme 5/2 > 0, il y a deux solutions : x − 2 = √(5/2) ou x − 2 = −√(5/2).
Or √(5/2) = √10 / 2 ≈ 1,58. Les solutions sont donc x = 2 − √10/2 ≈ 0,42 et x = 2 + √10/2 ≈ 3,58.
Contrôle avec le discriminant : Δ = (−8)² − 4 × 2 × 3 = 64 − 24 = 40, et x = (8 ± √40) / 4 = 2 ± √10/2. ✓ On vérifie aussi que β = −Δ / (4a) = −40 / 8 = −5.
Ce qu'il faut retenir
La forme canonique a(x − α)² + β se lit directement : α est l'abscisse du sommet, β l'extremum. On calcule α = −b / (2a) puis β = f(α), et on contrôle toujours en développant. Quand β et a sont de signes opposés, f s'annule deux fois, quand ils sont de même signe, f ne s'annule jamais : c'est le lien avec le discriminant, car β = −Δ / (4a).
Questions fréquentes
À quoi sert la forme canonique d'un trinôme ?
Elle donne directement le sommet de la parabole, le sens de variation et l'extremum (minimum si a > 0, maximum si a < 0). Elle sert aussi à résoudre f(x) = 0 ou une inéquation sans passer par le discriminant.
Comment trouver la forme canonique sans la formule ?
On factorise a dans les termes en x² et en x, puis on complète le carré : x² − 4x = (x − 2)² − 4. On regroupe ensuite les constantes. Le résultat doit se développer en ax² + bx + c.
Quelle différence entre forme développée, canonique et factorisée ?
La forme développée ax² + bx + c donne l'ordonnée à l'origine c. La forme canonique a(x − α)² + β donne le sommet. La forme factorisée a(x − x1)(x − x2) donne les racines, mais n'existe que si Δ ≥ 0.
Peut-on toujours écrire un trinôme sous forme canonique ?
Oui, pour tout trinôme avec a ≠ 0, même quand il n'a pas de racine réelle. Par exemple x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 reste strictement positif.
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