Relation de conjugaison d'une lentille mince : méthode et exercice corrigé
La relation de conjugaison permet de calculer où se forme l'image d'un objet à travers une lentille mince, sans tracer un seul rayon. C'est l'outil de base de l'optique au BTS Opticien-Lunetier : on l'utilise pour les lentilles, les loupes, les verres correcteurs et tous les instruments. Voici la méthode, les conventions de signe et le piège qui fait perdre le plus de points.
Les conventions à connaître
On travaille avec des mesures algébriques, surmontées d'une barre, mesurées à partir du centre optique O. La lumière se propage de la gauche vers la droite, et ce sens est compté positivement :
- un objet réel, placé avant la lentille, a une position OA négative ;
- une image réelle, formée après la lentille, a une position OA′ positive ;
- la distance focale image f′ = OF′ est positive pour une lentille convergente, négative pour une divergente.
La relation de conjugaison de Descartes
Pour une lentille mince dans l'air, l'objet A et son image A′ sont liés par :
1/OA′ − 1/OA = 1/f′ = D
où D est la vergence de la lentille, en dioptries (δ), avec f′ exprimée en mètres. Une lentille de vergence +5 δ a donc une distance focale f′ = 1/5 = 0,20 m = 20 cm.
Le grandissement
Le grandissement transversal compare la taille de l'image à celle de l'objet :
γ = A′B′ / AB = OA′ / OA
- γ > 0 : image droite ; γ < 0 : image renversée ;
- |γ| > 1 : image agrandie ; |γ| < 1 : image réduite.
Oublier le signe de OA. Avec un objet 30 cm avant une lentille de 20 cm, on écrit 1/OA′ = 1/20 + 1/(−30), et non 1/20 + 1/30. La version fausse donne OA′ = 12 cm au lieu de 60 cm. Deuxième piège : mélanger les unités. Si tu travailles avec la vergence D en dioptries, toutes les distances doivent être en mètres.
Exercice corrigé
Énoncé. Une lentille mince convergente a une vergence D = +5 δ. Un objet AB de 2 cm de haut est placé perpendiculairement à l'axe, 30 cm avant la lentille.
- Calculer la distance focale f′.
- Déterminer la position de l'image A′B′.
- Calculer le grandissement et la taille de l'image. Décrire l'image.
- Même question si l'objet est placé 10 cm avant la lentille.
f′ = 1/D = 1/5 = 0,20 m, soit f′ = 20 cm.
L'objet est avant la lentille : OA = −30 cm.
1/OA′ = 1/f′ + 1/OA = 1/20 + 1/(−30) = 3/60 − 2/60 = 1/60.
Donc OA′ = +60 cm : l'image se forme 60 cm après la lentille, elle est réelle.
Vérification en dioptries : 1/OA = 1/(−0,30) ≈ −3,33 δ, donc 1/OA′ ≈ 5 − 3,33 = 1,67 δ, soit OA′ ≈ 0,60 m. ✓
γ = OA′ / OA = 60 / (−30) = −2.
A′B′ = γ × AB = −2 × 2 = −4 cm.
L'image est réelle, renversée et deux fois plus grande que l'objet (4 cm de haut).
OA = −10 cm : 1/OA′ = 1/20 + 1/(−10) = 1/20 − 2/20 = −1/20, donc OA′ = −20 cm.
γ = (−20) / (−10) = +2, donc A′B′ = +4 cm.
L'image est virtuelle (avant la lentille), droite et deux fois plus grande : c'est le principe de la loupe, qui fonctionne quand l'objet est entre le foyer objet F et la lentille.
Ce qu'il faut retenir
Écris toujours les mesures algébriques avec leur signe avant de calculer, travaille dans une seule unité, et contrôle ton résultat : une image réelle a OA′ > 0, une image virtuelle OA′ < 0. En cas de doute, un tracé rapide avec deux rayons particuliers confirme en quelques secondes le sens et la taille de l'image.
Questions fréquentes
Quelle est la relation de conjugaison d'une lentille mince ?
C'est la relation de Descartes : 1/OA′ − 1/OA = 1/f′ = D, où OA et OA′ sont les positions algébriques de l'objet et de l'image mesurées depuis le centre optique O, f′ la distance focale image et D la vergence.
Comment savoir si l'image est réelle ou virtuelle ?
On regarde le signe de OA′ : s'il est positif, l'image se forme après la lentille et elle est réelle ; s'il est négatif, elle se forme avant la lentille et elle est virtuelle.
Comment passer de la vergence à la distance focale ?
On utilise f′ = 1/D avec f′ en mètres et D en dioptries. Une lentille de +4 δ a une distance focale de 0,25 m, soit 25 cm ; une lentille de −2 δ a une distance focale de −0,5 m.
Que vaut le grandissement ?
Le grandissement vaut γ = A′B′/AB = OA′/OA. S'il est négatif, l'image est renversée ; si sa valeur absolue dépasse 1, l'image est agrandie.
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