Formule des opticiens : vergence d'une lentille à partir de ses rayons de courbure
En BTS Opticien-Lunetier, on ne te donne pas toujours la distance focale d'un verre : l'énoncé fournit souvent l'indice du matériau et les rayons de courbure de ses deux faces. La formule des opticiens relie ces données à la vergence de la lentille. Voici comment l'utiliser sans te tromper de signe, avec un exercice corrigé et un schéma vérifié par le calcul.
La formule des opticiens
Pour une lentille mince d'indice n placée dans l'air, dont la première face (côté lumière incidente) a pour sommet S1 et pour centre C1, et la seconde face S2 et C2 :
V = (n − 1) × (1/R1 − 1/R2)
avec R1 = S1C1 et R2 = S2C2 algébriques, comptés dans le sens de la lumière (de gauche à droite). Les rayons sont exprimés en mètres, la vergence V en dioptries (δ), et la distance focale s'en déduit par f′ = 1/V.
- Une face bombée vers l'avant (centre à droite de son sommet) a un rayon positif ; si son centre est à gauche, le rayon est négatif.
- Une face plane a un rayon infini : le terme 1/R correspondant est nul.
- Plus l'indice n est élevé, plus la vergence est grande pour des faces identiques : c'est ce qui permet de fabriquer des verres plus fins en haut indice.
Oublier le signe de R2. Pour une lentille biconvexe, R1 est positif mais R2 est négatif : le terme −1/R2 devient alors positif et s'ajoute au premier. Deuxième piège : laisser les rayons en centimètres. Convertis-les en mètres avant de calculer, sinon la vergence est cent fois trop petite.
Exercice corrigé
Énoncé. Une lentille mince biconvexe en verre d'indice n = 1,5, placée dans l'air, a pour rayons de courbure R1 = +10 cm et R2 = −40 cm.
- Calculer sa vergence et sa distance focale image.
- On remplace la seconde face par une face plane, la première restant identique. Calculer la nouvelle vergence.
- Avec la lentille de la question 1, un objet AB de 5 cm est placé 24 cm avant la lentille. Déterminer la position, la taille et la nature de l'image.
R1 = 0,10 m et R2 = −0,40 m.
1/R1 − 1/R2 = 10 − (−2,5) = 12,5 m−1.
V = (1,5 − 1) × 12,5 = 6,25 δ. Lentille convergente (V > 0).
f′ = 1/6,25 = 0,16 m = 16 cm.
La face 2 est plane : 1/R2 = 0. V = 0,5 × 10 = 5 δ, soit f′ = 20 cm. La vergence diminue de 1,25 δ : la face courbe supprimée apportait une partie de la convergence.
OA = −24 cm = −0,24 m.
1/OA′ = V + 1/OA = 6,25 + 1/(−0,24) = 6,25 − 4,1667 = 2,0833 δ.
OA′ = 1/2,0833 = 0,48 m = 48 cm : l'image se forme 48 cm après la lentille, donc elle est réelle.
γ = OA′ / OA = 48 / (−24) = −2. Le grandissement est négatif : l'image est renversée, et agrandie deux fois. Avec AB = 5 cm, A′B′ = 10 cm.
Ce qu'il faut retenir
La formule V = (n − 1)(1/R1 − 1/R2) donne la vergence d'une lentille mince dans l'air à partir de son indice et de ses deux rayons algébriques, en mètres. Une fois V connue, le reste suit : f′ = 1/V, la relation de conjugaison 1/OA′ = V + 1/OA et le grandissement γ = OA′/OA.
Questions fréquentes
Comment savoir si une lentille est convergente ou divergente avec la formule des opticiens ?
Il suffit de regarder le signe de V. Si V > 0, la lentille est convergente (bords minces) ; si V < 0, elle est divergente (bords épais).
Pourquoi R2 est-il négatif pour une lentille biconvexe ?
Les rayons sont algébriques, comptés dans le sens de la lumière. Le centre de la seconde face d'une lentille biconvexe est situé à gauche de son sommet, donc S2C2 est négatif.
Que vaut 1/R pour une face plane ?
Une face plane a un rayon de courbure infini, donc 1/R = 0. Le terme correspondant disparaît de la formule, et la vergence ne dépend plus que de l'autre face.
La formule est-elle valable si la lentille n'est pas dans l'air ?
Non, pas telle quelle. Elle suppose que le milieu extérieur est l'air (indice voisin de 1). Dans un autre milieu d'indice n0, il faut remplacer n par le rapport n/n0 entre l'indice du verre et celui du milieu.
Un exercice expliqué chaque jour à 18h
Méthodes express, pièges classiques et questions type contrôle, en moins d'une minute, sur TikTok.
Suivre @hypatiex ↗Formulaires, cours et TD en accès libre
Les formulaires de maths et de physique-chimie, de la Seconde à la Terminale, et les cours et TD d'optique du BTS Opticien sont disponibles gratuitement.
Voir le catalogue ↗