Association de lentilles minces accolées : calculer la vergence totale
En BTS Opticien-Lunetier, de nombreux systèmes optiques (verres correcteurs, doublets, instruments) sont formés de plusieurs lentilles minces accolées. Bonne nouvelle : il n'est pas nécessaire d'étudier chaque lentille séparément avec la relation de conjugaison. Une seule formule permet de trouver directement le comportement du système équivalent. Voici la méthode, avec un exercice corrigé et un schéma vérifié par le calcul.
Pourquoi additionner les vergences ?
Pour une lentille mince, la vergence D est l'inverse de la distance focale image f′, exprimée en mètres :
D = 1/f′
Contrairement à la distance focale, la vergence est une grandeur additive : quand plusieurs lentilles minces sont accolées (distance entre elles négligeable) sur le même axe optique, la vergence du système équivalent est la somme des vergences de chaque lentille.
La formule
Pour deux lentilles minces accolées de vergences D1 et D2 :
D = D1 + D2
Le système se comporte alors exactement comme une lentille mince unique de vergence D, donc de distance focale f′ = 1/D. La formule reste valable avec le signe de chaque vergence : une lentille convergente a une vergence positive, une lentille divergente une vergence négative. C'est cette règle des signes qui permet à une association de rester convergente, devenir divergente, ou même donner un système afocal si D1 + D2 = 0.
Additionner les distances focales au lieu des vergences. f′1 + f′2 ne donne pas la distance focale du système : seules les vergences s'additionnent. Deuxième piège : oublier de convertir les distances focales en mètres avant de calculer une vergence en dioptries — une focale donnée en centimètres doit d'abord être divisée par 100.
Exercice corrigé
Énoncé. On accole deux lentilles minces de même axe optique : la lentille 1, convergente, de distance focale f′1 = 25 cm, et la lentille 2, divergente, de distance focale f′2 = −50 cm. Un objet réel AB, de 1 cm de haut, est placé 40 cm avant le système.
- Calculer la vergence totale du système équivalent et sa distance focale.
- Déterminer la position de l'image A′B′.
- Calculer le grandissement et décrire l'image obtenue.
D1 = 1/f′1 = 1/0,25 = +4 δ. D2 = 1/f′2 = 1/(−0,50) = −2 δ.
D = D1 + D2 = 4 + (−2) = +2 δ. Le système équivalent est convergent.
f′ = 1/D = 1/2 = 0,50 m = 50 cm.
L'objet est avant le système : OA = −40 cm = −0,40 m.
1/OA′ = D + 1/OA = 2 + 1/(−0,40) = 2 − 2,5 = −0,5 δ.
Donc OA′ = 1/(−0,5) = −2 m = −200 cm : l'image se forme 200 cm avant le système, du même côté que l'objet. C'est cohérent, puisque l'objet (40 cm) est placé à l'intérieur de la distance focale (50 cm) : comme pour une lentille convergente seule, l'image obtenue est alors virtuelle.
γ = OA′ / OA = (−200) / (−40) = +5.
γ > 0 : l'image est droite (même sens que l'objet). |γ| = 5 > 1 : l'image est agrandie. Avec AB = 1 cm, A′B′ = 5 × 1 = 5 cm. L'image est donc virtuelle, droite, agrandie 5 fois, formée 200 cm avant le système — un comportement identique à celui d'une loupe.
Ce qu'il faut retenir
Pour un système de lentilles minces accolées, on additionne les vergences (D = D1 + D2), jamais les distances focales. Le système équivalent se traite ensuite exactement comme une lentille unique, avec la relation de conjugaison 1/OA′ = D + 1/OA et le grandissement γ = OA′/OA.
Questions fréquentes
Peut-on additionner directement les distances focales de deux lentilles accolées ?
Non. Il faut additionner les vergences (D = 1/f′ en mètres), pas les distances focales, car la vergence est une grandeur additive et la distance focale ne l'est pas. Additionner les focales donnerait ici −25 cm, très loin des +50 cm réels.
Que signifie une vergence totale négative ?
Le système équivalent est divergent : comme une lentille divergente seule, il ne peut former que des images virtuelles, droites et réduites d'un objet réel.
La formule D = D1 + D2 s'applique-t-elle si les lentilles sont éloignées l'une de l'autre ?
Non, elle suppose des lentilles minces accolées, c'est-à-dire séparées par une distance négligeable. Si les lentilles sont espacées, il faut tenir compte de cet écartement dans le calcul, ce qui dépasse le cadre des bases de l'optique.
Comment retrouver la distance focale du système à partir de la vergence totale ?
Avec f′ = 1/D, D étant exprimée en dioptries et f′ obtenue directement en mètres.
Un exercice expliqué chaque jour à 18h
Méthodes express, pièges classiques et questions type contrôle, en moins d'une minute, sur TikTok.
Suivre @hypatiex ↗Formulaires, cours et TD en accès libre
Les formulaires de maths et de physique-chimie, de la Seconde à la Terminale, et les cours et TD d'optique du BTS Opticien sont disponibles gratuitement.
Voir le catalogue ↗