Loi de Snell-Descartes : réfraction et réflexion totale
La loi de Snell-Descartes est la base de tout le programme d'optique géométrique du BTS Opticien-Lunetier : elle explique comment un rayon lumineux change de direction en traversant une surface, et pourquoi il peut, au-delà d'un certain angle, ne plus sortir du tout. Voici la méthode complète, avec un exercice corrigé et un schéma vérifié par le calcul.
La loi de la réfraction
Quand un rayon lumineux passe d'un milieu d'indice n1 à un milieu d'indice n2, il change de direction à la traversée de la surface. La relation entre l'angle d'incidence i1 et l'angle de réfraction i2, tous deux mesurés par rapport à la normale à la surface, est :
n1 × sin(i1) = n2 × sin(i2)
Le rayon incident, la normale et le rayon réfracté sont toujours dans le même plan. Si n2 > n1 (le rayon entre dans un milieu plus réfringent), il se rapproche de la normale : i2 < i1. Si n2 < n1, il s'en écarte : i2 > i1.
L'angle limite et la réflexion totale
Quand la lumière va d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent (n1 > n2), l'angle de réfraction i2 augmente plus vite que i1. Il existe un angle d'incidence particulier, l'angle limite ilim, pour lequel le rayon réfracté rase la surface (i2 = 90°). On l'obtient en posant i2 = 90° dans la loi de Snell-Descartes :
sin(ilim) = n2 / n1
Au-delà de cet angle limite (i1 > ilim), l'équation sin(i2) = (n1/n2)·sin(i1) donnerait un sinus supérieur à 1, ce qui est impossible : aucun rayon ne peut plus être réfracté. Toute la lumière est alors réfléchie dans le premier milieu, c'est la réflexion totale.
Croire que la réflexion totale peut se produire dans n'importe quel sens. C'est faux : elle n'existe que lorsque n1 > n2, c'est-à-dire quand la lumière part du milieu le plus réfringent vers le milieu le moins réfringent (par exemple du verre vers l'air). De l'air vers le verre, la formule sin(ilim) = n2/n1 donnerait un résultat supérieur à 1 : il n'existe alors aucun angle limite, et il n'y a jamais de réflexion totale dans ce sens.
Exercice corrigé
Énoncé. Un rayon lumineux se propage dans du verre d'indice n1 = 1,5 et atteint la surface plane qui le sépare de l'air (n2 = 1) avec un angle d'incidence i1 = 30° par rapport à la normale.
- Calculer l'angle de réfraction i2 dans l'air.
- Calculer l'angle limite ilim au-delà duquel il y a réflexion totale.
- Le rayon peut-il sortir dans l'air si l'angle d'incidence vaut 50° ? Justifier.
D'après la loi de Snell-Descartes : n1·sin(i1) = n2·sin(i2), donc sin(i2) = (n1/n2)·sin(i1).
sin(i2) = (1,5/1) × sin(30°) = 1,5 × 0,5 = 0,75.
i2 = arcsin(0,75) ≈ 48,6°.
On pose i2 = 90° : sin(ilim) = n2/n1 = 1/1,5 ≈ 0,667.
ilim = arcsin(0,667) ≈ 41,8°.
L'angle d'incidence 50° est supérieur à l'angle limite ilim ≈ 41,8°. On est donc dans le domaine de la réflexion totale : aucun rayon ne peut sortir dans l'air. On peut le vérifier par le calcul : sin(i2) = 1,5 × sin(50°) ≈ 1,5 × 0,766 ≈ 1,149, ce qui est impossible pour un sinus (toujours compris entre −1 et 1). Toute la lumière est réfléchie dans le verre.
Ce qu'il faut retenir
La loi de Snell-Descartes, n1·sin(i1) = n2·sin(i2), régit tout changement de direction d'un rayon lumineux à une interface. La réflexion totale n'existe que du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent (n1 > n2), au-delà de l'angle limite ilim tel que sin(ilim) = n2/n1. C'est ce principe qui explique, entre autres, la propagation de la lumière dans une fibre optique.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si l'angle d'incidence dépasse l'angle limite ?
Toute la lumière est réfléchie dans le premier milieu : c'est la réflexion totale. Aucun rayon réfracté ne peut sortir dans le second milieu au-delà de l'angle limite.
Comment calculer l'angle limite de réflexion totale ?
On pose i2 = 90° dans la loi de Snell-Descartes, ce qui donne sin(ilim) = n2 / n1, avec n1 le milieu incident et n2 le milieu de sortie.
La réflexion totale peut-elle se produire de l'air vers le verre ?
Non. La réflexion totale exige n1 > n2, c'est-à-dire un passage du milieu le plus réfringent vers le milieu le moins réfringent. De l'air vers le verre, sin(ilim) = n2/n1 serait supérieur à 1, ce qui est impossible.
Quelle est la différence entre réflexion partielle et réflexion totale ?
En dessous de l'angle limite, une partie de la lumière est réfléchie et une partie est réfractée : c'est la réflexion partielle. Au-delà de l'angle limite, toute la lumière est réfléchie et aucune réfraction n'est possible : c'est la réflexion totale.
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