Prisme : déviation minimale et exercice corrigé (BTS Opticien)
Le prisme est un classique de l'épreuve d'optique du BTS Opticien-Lunetier : on te demande de suivre un rayon à travers deux faces, de calculer la déviation, parfois la déviation minimale ou l'indice du verre. Et c'est aussi la base des verres prismés que l'opticien rencontre en vision binoculaire. Voici les quatre formules à connaître, le piège classique et un exercice corrigé avec un schéma vérifié par le calcul.
Les formules du prisme
Un prisme est un milieu transparent d'indice n limité par deux faces planes qui font entre elles l'angle A (angle au sommet). Le rayon est toujours dévié vers la base du prisme, c'est-à-dire du côté opposé au sommet. On applique la loi de Snell-Descartes sur chaque face, avec les angles mesurés par rapport à la normale de la face :
- première face : sin i = n × sin r
- relation géométrique dans le prisme : A = r + r′
- seconde face : sin i′ = n × sin r′
- déviation totale : D = i + i′ − A
La déviation D passe par un minimum Dm quand le rayon traverse le prisme symétriquement (i = i′ et r = r′ = A/2). On en déduit l'indice du verre : n = sin((A + Dm)/2) / sin(A/2)
Oublier que r′ se déduit de A et non de i : on calcule r avec la première face, puis r′ = A − r, et seulement ensuite i′. Autre erreur très fréquente : appliquer la formule D = (n − 1)A, valable uniquement pour un prisme mince d'angle très petit, à un prisme de 60°. Elle donnerait ici 30°, alors que la vraie déviation est supérieure à 37°.
Exercice corrigé
Énoncé. Un prisme de verre d'indice n = 1,5 a un angle au sommet A = 60°. Il est placé dans l'air (indice 1). Un rayon lumineux arrive sur la première face avec un angle d'incidence i = 40°.
- Calculer l'angle de réfraction r, puis l'angle d'incidence r′ sur la seconde face.
- Calculer l'angle d'émergence i′ et la déviation D.
- Calculer la déviation minimale Dm de ce prisme.
sin r = sin i / n = sin 40° / 1,5 ≈ 0,6428 / 1,5 ≈ 0,4285, donc r ≈ 25,4°.
Dans le prisme : r′ = A − r = 60° − 25,4° = 34,6°.
On vérifie que r′ est inférieur à l'angle limite verre-air (arcsin(1/1,5) ≈ 41,8°) : le rayon peut donc sortir.
sin i′ = n × sin r′ = 1,5 × sin 34,6° ≈ 1,5 × 0,5682 ≈ 0,8523, donc i′ ≈ 58,5°.
D = i + i′ − A = 40° + 58,5° − 60° = 38,5° (vers la base).
Au minimum de déviation, r = A/2 = 30° et sin((A + Dm)/2) = n × sin(A/2) = 1,5 × 0,5 = 0,75.
(A + Dm)/2 = arcsin(0,75) ≈ 48,6°, donc Dm ≈ 2 × 48,6° − 60° = 37,2°.
Cohérence : D = 38,5° est bien supérieur à Dm = 37,2°, puisque Dm est la plus petite déviation possible.
Prisme mince et dioptrie prismatique
En optique ophtalmique, les prismes ont de petits angles. La déviation est alors presque constante et vaut D ≈ (n − 1) × A. Par exemple, un prisme d'angle A = 4° et d'indice 1,5 dévie de D ≈ 0,5 × 4° = 2°. On exprime souvent cette déviation en dioptries prismatiques (Δ) : 1 Δ dévie un rayon de 1 cm à 1 m de distance, soit Δ = 100 × tan D. Ici : 100 × tan 2° ≈ 3,5 Δ.
Ce qu'il faut retenir
Pour un prisme, on enchaîne sin i = n sin r, r′ = A − r, sin i′ = n sin r′, puis D = i + i′ − A. La déviation est minimale pour un trajet symétrique, et le rayon est toujours dévié vers la base. Pour un prisme d'angle A ≤ 2 × ilim, un rayon peut ressortir ; sinon la seconde face provoque une réflexion totale.
Questions fréquentes
Vers où un prisme dévie-t-il la lumière ?
Toujours vers la base, c'est-à-dire du côté opposé au sommet. C'est parce que l'indice du verre est supérieur à celui de l'air : le rayon se rapproche de la normale en entrant, puis s'en écarte en sortant.
Comment calculer l'angle d'émergence d'un prisme ?
On calcule r avec sin i = n sin r, puis r′ = A − r, puis i′ avec sin i′ = n sin r′. Si n sin r′ dépasse 1, il n'y a pas d'émergence : c'est la réflexion totale sur la seconde face.
Qu'est-ce que la déviation minimale ?
C'est la plus petite valeur de la déviation D quand on fait varier l'angle d'incidence. Elle est atteinte quand le rayon traverse le prisme symétriquement (i = i′, r = r′ = A/2), ce qui permet de mesurer l'indice : n = sin((A + Dm)/2) / sin(A/2).
Que signifie une dioptrie prismatique ?
Un prisme de 1 Δ dévie un rayon lumineux de 1 cm pour 1 m de distance, soit une déviation d'environ 0,57°. La relation est Δ = 100 × tan D.
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