Miroir sphérique : relation de conjugaison et exercice corrigé
Un miroir de rasage, un rétroviseur, le miroir d'une lampe à fente : en optique, on rencontre vite les miroirs sphériques. Au BTS Opticien-Lunetier, on doit savoir prévoir où se forme l'image d'un objet, sa taille et son sens. La méthode ressemble à celle des lentilles, mais les signes changent : voici comment ne pas se tromper.
Vocabulaire et conventions de signe
Un miroir sphérique est une portion de sphère de centre C. Son sommet S est le point de la surface situé sur l'axe. On oriente l'axe dans le sens de propagation de la lumière incidente (de la gauche vers la droite) et on mesure toutes les positions depuis S :
- miroir concave (creux, côté réfléchissant tourné vers la lumière) : SC < 0, le centre est avant le miroir ;
- miroir convexe (bombé) : SC > 0, le centre est derrière le miroir ;
- le foyer F est au milieu de [SC] : SF = SC/2. Un miroir concave est convergent, un miroir convexe est divergent.
Contrairement à une lentille, la lumière repart en sens inverse : une image réelle se forme avant le miroir (SA′ < 0), une image virtuelle derrière le miroir (SA′ > 0).
Relation de conjugaison et grandissement
Dans les conditions de Gauss (rayons peu inclinés, proches de l'axe), l'objet A et son image A′ vérifient :
1/SA′ + 1/SA = 2/SC = 1/SF
Le grandissement transversal vaut :
γ = A′B′/AB = − SA′/SA
Attention au signe « − » et au signe « + » dans la relation : ils diffèrent de ceux de la lentille mince, car la lumière fait demi-tour.
Appliquer les formules de la lentille au miroir. Pour un miroir, c'est 1/SA′ + 1/SA (un « + »), et le grandissement porte un signe « − ». Autre erreur fréquente : oublier que SC est négatif pour un miroir concave, donc que SF = −20 cm et non +20 cm pour un rayon de courbure de 40 cm.
Exercice corrigé
Énoncé. Un miroir sphérique concave a un rayon de courbure de 40 cm. Un objet AB de 2 cm de haut est placé perpendiculairement à l'axe, 60 cm avant le miroir.
- Calculer la distance focale SF.
- Déterminer la position de l'image A′B′, puis son grandissement et sa taille.
- Même question si l'objet est placé 10 cm avant le miroir.
Miroir concave : SC = −40 cm, donc SF = SC/2 = −20 cm. Le foyer est à 20 cm avant le miroir.
SA = −60 cm.
1/SA′ = 1/SF − 1/SA = 1/(−20) − 1/(−60) = −3/60 + 1/60 = −2/60 = −1/30.
Donc SA′ = −30 cm : l'image se forme 30 cm avant le miroir, elle est réelle.
γ = − SA′/SA = − (−30)/(−60) = −0,5, donc A′B′ = −0,5 × 2 = −1 cm.
L'image est réelle, renversée et deux fois plus petite (1 cm de haut).
SA = −10 cm : 1/SA′ = 1/(−20) − 1/(−10) = −1/20 + 2/20 = 1/20, donc SA′ = +20 cm.
γ = − 20/(−10) = +2, donc A′B′ = +4 cm.
L'image est virtuelle (derrière le miroir), droite et deux fois plus grande : c'est l'effet d'un miroir de rasage, qui agrandit quand on se place entre le foyer et le miroir.
Ce qu'il faut retenir
Pour un miroir, on écrit d'abord SC avec son signe, on en déduit SF, puis on applique 1/SA′ + 1/SA = 1/SF. Le signe de SA′ donne la nature de l'image : négatif, réelle ; positif, virtuelle. Le signe de γ donne son sens : négatif, renversée ; positif, droite. Un tracé rapide avec les trois rayons particuliers permet de vérifier le résultat.
Questions fréquentes
Quelle est la relation de conjugaison d'un miroir sphérique ?
C'est 1/SA′ + 1/SA = 2/SC = 1/SF, avec toutes les positions mesurées algébriquement depuis le sommet S. Elle est valable dans les conditions de Gauss.
Quelle est la différence avec la relation d'une lentille ?
Pour la lentille, on écrit 1/OA′ − 1/OA = 1/f′ ; pour le miroir, 1/SA′ + 1/SA = 1/SF. La lumière repart en sens inverse, ce qui change les signes, y compris celui du grandissement γ = − SA′/SA.
Comment savoir si l'image d'un miroir est réelle ou virtuelle ?
Avec l'axe orienté dans le sens de la lumière incidente, une image réelle se forme avant le miroir (SA′ négatif) et une image virtuelle derrière le miroir (SA′ positif).
Où est le foyer d'un miroir sphérique ?
Le foyer F est le milieu du segment [SC] : SF = SC/2. Pour un miroir concave de rayon 40 cm, F est à 20 cm avant le miroir.
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