Dioptre plan et profondeur apparente : formule et exercice corrigé
Une piscine paraît toujours moins profonde vue de l'extérieur qu'elle ne l'est réellement : c'est un effet de réfraction à travers un dioptre plan, l'interface entre deux milieux transparents d'indices différents. Contrairement à une lentille, un dioptre plan n'a pas de vergence, mais il forme quand même une image approchée, utile pour comprendre la vision à travers l'eau, une vitre ou un aquarium. Voici la formule, ses conditions de validité et un exercice corrigé.
Rappel : la réfraction à un dioptre plan
Un dioptre plan sépare deux milieux transparents d'indices n1 et n2. Un rayon lumineux qui le traverse change de direction selon la loi de Snell-Descartes : n1 sin i1 = n2 sin i2, où i1 et i2 sont les angles par rapport à la normale au dioptre (voir la fiche sur la loi de Snell-Descartes). Pour un observateur qui regarde presque perpendiculairement à la surface, cette réfraction déplace la position apparente de l'objet le long de l'axe normal.
La formule de la profondeur apparente
Pour des rayons proches de la normale (incidence quasi normale), un objet réel A situé dans le milieu d'indice n1 est vu, depuis le milieu d'indice n2, en une position apparente A′ donnée par :
1/HA′ = n1/n2 × 1/HA
ce qui équivaut, sous forme de position algébrique, à :
HA′ = (n2 / n1) × HA
où H est le point du dioptre situé sur l'axe normal, et HA, HA′ les positions algébriques mesurées le long de cet axe, orienté dans le sens de propagation de la lumière (du milieu n1, où se trouve l'objet réel, vers le milieu n2, où se trouve l'observateur).
Inverser n1 et n2 dans le rapport. Le bon réflexe : n1 est toujours l'indice du milieu où se trouve réellement l'objet, n2 celui du milieu où se trouve l'observateur (là où se forme l'image apparente). Deuxième piège : appliquer cette formule à une observation très inclinée, alors qu'elle n'est valable qu'en incidence proche de la normale — un dioptre plan n'est pas rigoureusement stigmatique.
Exercice corrigé
Énoncé. Un poisson se trouve à 1,20 m de profondeur dans une piscine. L'eau a un indice neau = 4/3, l'air un indice nair = 1. Un observateur regarde le poisson depuis l'air, presque à la verticale.
- Calculer la profondeur apparente à laquelle l'observateur voit le poisson.
- Un flotteur se trouve à 0,50 m au-dessus de la surface de l'eau. À quelle distance apparente le poisson le voit-il, depuis l'intérieur de l'eau ?
- En déduire pourquoi une piscine paraît toujours moins profonde vue de l'extérieur.
La lumière part du poisson (milieu n1 = neau = 4/3) vers l'observateur (milieu n2 = nair = 1). En orientant l'axe dans le sens de propagation (vers le haut) : HA = −1,20 m.
HA′ = (n2/n1) × HA = (1 / (4/3)) × (−1,20) = (3/4) × (−1,20) = −0,90 m.
L'observateur voit donc le poisson à une profondeur apparente de 0,90 m, alors qu'il est réellement à 1,20 m.
Cette fois la lumière part du flotteur (milieu n1 = nair = 1) vers le poisson (milieu n2 = neau = 4/3). En orientant l'axe dans le sens de propagation (vers le bas) : HA = −0,50 m.
HA′ = (n2/n1) × HA = (4/3 / 1) × (−0,50) = −0,667 m, soit environ 0,67 m.
Depuis l'eau, le poisson voit donc le flotteur plus loin (0,67 m) qu'il ne l'est réellement (0,50 m) : vu depuis un milieu plus réfringent, un objet extérieur paraît plus éloigné.
Dans les deux cas, le facteur multiplicatif est le rapport n2/n1. Vu depuis l'air (n2 = 1) vers l'eau (n1 = 4/3), ce rapport vaut 3/4 < 1 : la profondeur apparaît systématiquement réduite d'un quart, quelle que soit la profondeur réelle. C'est pour cette raison qu'une piscine, vue de l'extérieur presque à la verticale, paraît toujours environ trois quarts aussi profonde qu'en réalité.
Ce qu'il faut retenir
La profondeur (ou distance) apparente à travers un dioptre plan vaut toujours la position réelle multipliée par n2/n1, le rapport de l'indice du milieu d'arrivée sur celui du milieu de départ. Cette formule n'est valable qu'en incidence proche de la normale : un dioptre plan, contrairement à une lentille, ne forme pas une image rigoureusement stigmatique pour tous les rayons.
Questions fréquentes
Pourquoi une piscine paraît-elle moins profonde qu'elle ne l'est ?
Parce que la lumière se réfracte en passant de l'eau (indice 4/3) à l'air (indice 1) : la profondeur apparente est égale à la profondeur réelle multipliée par n2/n1 = 3/4. Une piscine paraît donc toujours environ trois quarts moins profonde, quelle que soit sa profondeur réelle.
La formule de la profondeur apparente est-elle valable pour tous les angles de vue ?
Non, elle n'est valable que pour des rayons proches de la normale (observation quasi verticale). C'est une approximation de stigmatisme, comme celle utilisée pour les miroirs et dioptres sphériques : elle devient fausse pour une observation très inclinée.
Quelle est la différence avec la relation de conjugaison d'une lentille ?
Un dioptre plan n'a pas de vergence ni de distance focale : c'est une simple interface entre deux milieux, sans effet convergent ou divergent. La formule de la profondeur apparente ne fait intervenir que le rapport des indices n2/n1, contrairement à la relation de conjugaison d'une lentille qui fait intervenir sa vergence.
Comment retenir le sens du rapport n2/n1 ?
n1 est l'indice du milieu où se trouve réellement l'objet, n2 celui du milieu où se trouve l'observateur (ou l'image). On multiplie toujours la position réelle par le rapport (indice d'arrivée de la lumière / indice de départ).
Un exercice expliqué chaque jour à 18h
Méthodes express, pièges classiques et questions type contrôle, en moins d'une minute, sur TikTok.
Suivre @hypatiex ↗Formulaires, cours et TD en accès libre
Les formulaires de maths et de physique-chimie, de la Seconde à la Terminale, et les cours et TD d'optique du BTS Opticien sont disponibles gratuitement.
Voir le catalogue ↗